Kan kvasikrystaller løse Riemanns hypotese?

Mosaikker fra islamisk arkitektur, femfoldig symmetri i syntetiske metallegeringer og en over 150 år gammel hypotese om fordelingen af primtal ... Måske er der en sammenhæng, og kloge hoveder fra hele verden vil i en online workshop nu forsøge at afdække den.

(Læs hele artiklen med kommentarer på ing.dk)



Kvasikrystaller er forunderlige størrelser. Krystalagtige materialer, som nok har orden og symmetri, men som alligevel bryder med de regler, der gælder for ‘rigtige’ krystaller.

Videnskaben troede ikke, at de fandtes i virkeligheden, før den israelske krystallograf Daniel Shechtman opdagede deres femfoldige symmetri i en syntetisk metallegering i 1982. For en måned siden fik han så nobelprisen i kemi for sin opdagelse – og måske mest for sin standhaftige tro på sine øjne og sit elektronmikroskop snarere end på lærebøgerne og de fjendtlige kolleger, der mente, at Shechtman var blevet skør i hovedet.

Siden 1982 har krystallografer og metallurger lavet detaljerede analyser af kvasikrystallers egenskaber; matematikere har formuleret definitioner af kvasikrystaller som projektioner i flerdimensionelle hyperkubi og geokemikere har endelig – i 2009 – fundet den første naturligt forekommende kvasikrystal i en flod i de russiske Koryak-bjerge i det nordøstlige Sibirien.

Tidligere på året blev den første naturligt forekommende kvasikrystal fundet i det sydøstlige Chukotka i Rusland. Den er navngivet Icosahedrite, Al63Cu24Fe13, fordi den har en ikosaedrisk symmetri, som det kan ses i disse diffraktionsmønstre, a) et femfolds-, b) et trefolds- og c) et tofolds-mønster – der tilsammen giver den såkaldte Kikuchi-linje d), som viser orientationslinjerne i kvasikrystallen. 


Men den nok mest fascinerende udvikling i den videnskabelige udforskning af kvasikrystaller er deres relation til primtallene og Riemann-hypotesen (se boks lidt neden under), og dermed deres relation til en hel jungle af uløste problemer inden for kvantefysik, kaotiske systemer, kryptografi, kortspillet solitaire og ikke mindst matematikken selv, hvor et utal af teoremer og formodninger ville blive løst i ét enkelt hug.

Måske kan kvasikrystaller hjælpe med at ‘bevise’ Riemann-hypotesen? Faktisk er flere forskere i gang med at undersøge sagen.

Primtal og kvantefysik
Historien begynder i 1972, hvor fysikkens grand old man, Freeman Dyson, bemærkede, at primtal og kvantefysik hænger sammen som ærtehalm.
I en samtale med talteoretikeren Hugh Montgomery opdagede Dyson, at hvis man sammenligner nulpunkterne i Riemanns zeta-funktion med de eksperimentelle resultater af energiniveauer i grundstoffet erbiums atomkerne, så ligner de to spektre hinanden til forveksling. Implikationerne ville være enorme.


For hvis man kunne lave en fysisk beskrivelse af atomkerners kvantemekaniske struktur, kunne man måske bruge matematikken til at løse Riemann-hypotesen?




Riemann-hypotesen
Riemann-hypotesen er nok det mest berømte uløste matematiske problem overhovedet. Plotter man begrebet ind i Amazons søgemaskine, får man over 500 hardcover-titler som resultat. Årsagen er vel nok, at Riemann-hypotesen er tæt knyttet til fordelingen af primtal i talrækken af de naturlige tal, og primtal er, det ved vi alle, hele matematikkens uudgrundelige legeplads.

Matematikere har i årtusinder forsøgt at finde orden i primtal, men forgæves. Der er ingen regler for, hvor de står i talrækken, og man har ikke fundet nogen formler, der fortæller, om et ukendt tal er et primtal eller ej. Måske er det ikke helt tilfældigt, at primtal er så uforudsigelige, da de jo pr. definition er det, der er tilbage, når man fjerner alle mønstre. Primtallene er det grundfjeld, der står tilbage, når talrækken er splittet op i sine bestanddele, divideret til bunds så at sige, og alle repetitioner fjernet. 

Det er derfor heller ikke overraskende, at det er muligt at konstruere hele talrækken ud fra primtallene, og her er Riemann-hypotesens zeta-funktion central. Den blev faktisk formuleret første gang af Leonhard Euler og er ikke andet end en veldefineret sum af de naturlige tal. Mere eksakt: tag hvert enkelt naturligt tal fra 1 til uendelig, opløft det til potensen s, tag den inverse af dette, og læg det hele sammen: 

Summen zeta er endelig, hvis s er større end 1, og uendelig, hvis s er mindre end 1. Euler viste at denne sum er ækvivalent med produktet af alle primtal, hvor opskriften nu er: Tag hvert primtal fra 2 til uendelig, opløft det til potensen s, og efter lidt mere aritmetik ganges de alle sammen: 


Det er ganske slående, at en sum over alle positive heltal og et produkt af alle primtal kan være så tæt forbundet, og Riemanns revolutionerende indsigt var, at hvis man erstatter det reelle tal s med et komplekst tal af formen a + ib, hvor i er kvadratroden af -1, og undersøger funktionens nulpunkter, vil man få et godt bud på fordelingen af primtallene blandt de naturlige tal. Riemann-hypotesen siger formelt, at alle ikke-trivielle nulpunkter i zeta-funktionen er komplekse tal med en realdel på ½.

Hvis hypotesen er rigtig, vil det betyde, at naturen har fordelt primtallene på en meget rundhåndet måde, lidt ligesom gasmolekyler i et stort rum – man vil måske ikke vide helt præcist, hvor primtallene er, men alligevel være sikker på, at der ikke er vakuum i ét hjørne, og overfyldt i et andet. Hvis Riemann-hypotesen derimod er falsk, så vil primtallene være langt mere mærkeligt fordelt, end vi tror, og en masse matematiske teoremer, som baserer sig på Riemann-hypotesen, vil ikke holde.




Desværre viste det sig ikke at være så nemt endda. Statistikken over energiniveauerne i atomkerner er lige så tilfældig som egenværdierne i en tilfældig symmetrisk matrix. Og hvordan formulerer man lige en årsagskæde ud fra en tilfældig talrække? I de følgende 30 år fandt forskerne mange tegn på, at zeta-funktionen kan forstås og måske endda løses via fysiske systemer. Men først i 2006 lykkedes det at finde yderligere støtte til ideen.


Inden for zeta-funktionsforskningen findes en vigtig sekvens kaldet ‘moments of the Riemann zeta function’, der relaterer sig til hullerne mellem nullerne. For at beregne disse momenter skal man kende en besynderlig koefficient, kaldet g_k. Siden 1910 har man vidst, at det første moment g_1 = 1, og siden 1926 at g_2 = 2. I 1995 påstod Conrey og Ghosh at g_3 så sandelig var lig 42 (Douglas Adams vinker).

Inden de to matematikere kunne bevise deres påstand, havde Jon Keating og Nina Snaith fra University of Bristol beregnet alle koefficienter ved hjælp af kvanteenerginiveauerne i kaotiske systemer. Et hurtigt tjek viste, at g_3 vitterlig er 42 og at g_4 = 24.024. Kvantefysikken kunne altså forudsige et resultat inden for talteorien.

Kvasikrystaller i arkitekturen
Pointen er altså, at matematikken kan få nye ideer fra helt andre fagområder, og her er kvasikrystaller en kandidat på grund af det slående faktum, at hvis Riemann-hypotesen er sand, så vil nulpunkterne i zeta-funktionen danne en kvasikrystal i én dimension.

Ud fra definitionen af kvasikrystaller kan de eksistere i en, to eller tre dimensioner. De er kendetegnet ved at have en form for orden i deres struktur uden at være periodiske. Man kan altså ikke knække kvasikrystaller over og få lige dele, som er ens. Der vil altid være en lille forskel – lige meget hvor ofte man brækker dem over – og forskellen skyldes ikke urenheder i krystallen, men en fraktal-agtig ‘selvsimilaritet’, der repeteres udi det uendelige uden at være periodisk. Der findes kun en begrænset mængde af kvasikrystaller i den virkelige verden af tre dimensioner, og her er de alle sammen associerede med et ikosaeder, dvs. et 20-sidet polyeder, som i øvrigt er det legeme, som Platon (og Pythagoras) anså som det mest hellige og perfekte legeme, der findes.

De todimensionelle kvasikrystaller er der flere af, og de er associerede med flere typer af polygoner på en flade. Undergruppen med pentagonal symmetri blev opdaget af Roger Penrose i 1973, og de kaldes Penrose-tegl. Man fandt senere ud af, at også islamisk arkitektur og dekorationskunst havde kendt til kvasiperiodiske mønstre i over 700 år.

På grund af islams billedforbud var arabisk arkitektur og dekorationskunst stærkt abstrakt og baseret på avanceret geometri. Blandt andet kunne man lave kvasiperiodiske mosaikker ved at bruge et sæt bestående af fem såkaldte girib-tegl. Her ses en kvasiperiodisk struktur fra en buegang i den ottomanske grønne moske i Bursa, der nu ligger i Tyrkiet, fra 1424. Foto: W.B.Denny

Her nedenunder ses Bursa-mosaikken i skematisk afbildning. Den matematiske kompleksitet i disse kvasiperiodiske strukturer blev først (gen)opdaget af den engelske matematiker Roger Penrose med det såkaldte Penrose-tegl fra 1973. Illustration. P.J.Lu and P.J. Steinhardt: ‘Decagonal and Quasichrystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture’, Science, (2007)





De endimensionelle kvasikrystaller er der mange flere af end tre- eller todimensionelle kvasikrystaller, fordi der ikke er begrænsninger fra rotationssymmetrien. Og det er dem, der er så interessante for matematikerne. Ifølge Dysons definition kan kvasikrystaller beskrives som en distribution af diskrete punktmasser, hvis Fourier-tranformation er en distribution af diskrete punktfrekvenser. Det vil sige, at en kvasikrystal er en ren punktdistribution med et rent punktspektrum.

At finde den rette kvasikrystal
I en tale i Berkeley i 2002 og senere i et essay kaldet ‘Birds and Frogs’ fra 2008 fortalte Dyson, at dette kunne betyde en hel ny tilgang til at løse problemet med Riemann-hypotesen. For hvis Riemann-hypotesen er sand, så danner nullerne af zeta-funktionen en distribution af punktmasser på en ret linje, og deres Fourier-transformation er ligeledes en distribution af punktmasser, placeret ved hver logaritme af et ordinært primtal og potenser af primtal. Hvis man derfor bare kunne finde den rigtige kvasikrystal, så ville den være hjemme:

‘Mit forslag er følgende. Lad os forestille os, at vi ikke ved, om Riemann-hypotesen er sand eller falsk. Lad os derfor gå til problemet fra den anden side. Lad os finde det komplette antal og den komplette klassifikation af alle endimensionelle kvasikrystaller. (...) Blandt myriader af kvasikrystaller leder vi efter én, som korresponderer med Riemanns zeta-funktion og én, som korresponderer med hver af de andre zeta-funktioner, som ligner Riemanns zeta-funktion. Forestil dig, at vi finder en kvasikrystal i vores optælling med netop de egenskaber, som identificerer den med nullerne i zeta-funktionen. Så har vi bevist Riemann-hypotesen,’ skriver Dyson.

Han indrømmer selvfølgelig, at alt dette er forfængelige drømme, og at problemet med at klassificere kvasikrystallerne er utroligt svært. I sin afslutning på artiklen opfordrer Dyson dog alligevel ungdommen til at tage over og smide al historisk ballast over bord:

‘Hvis vi ønsker at se på sagen ud fra et Baconsk perspektiv, så er matematikkens historie en historie om utroligt svære problemer, som bliver løst af unge mennesker, der er alt for uvidende om, at de er umulige at løse. Klassifikationen af kvasikrystaller er et værdigt mål og kunne endda vise sig at være opnåeligt.’

Stafetten blev for nylig taget op af den indiske matematiker Rohit Gupta i form af en online workshop med det formål at angribe Riemann-hypotesen frontalt, til offentlig skue, og med helt nye indgangsvinkler. Til at starte med er de inviterede ikke etablerede matematikere med indgående genskab til talteori, men amatører fra alle mulige mærkelige videnområder med lyst og energi til at tackle en af matematikkens største gåder. Det må kaldes et vanvittigt, men også kreativt projekt, der ifølge matematikeren Edmund Harriss mest af alt ligner Don Quixotes umulige togt.

Men hvorfor ikke? Riemann-hypotesen og primtallenes struktur har været forsøgt forstået i snart 2.000 år, og i stedet for at vente på, at en genial matematiker en dag dukker op fra kælderen med et bevis, efter i årevis at have gemt sig af angst for at andre kunne hugge hans ideer, så kan man vel lige så godt lægge kortene på bordet, lade de uvidende komme til, og forsøge at bevise hypotesen sammen. Fysikere har vist sig at kunne hjælpe talteoretikerne før – måske kan kemikere, biologier eller andre videnskabsfolk det også.

0 comments:

There was an error in this gadget