Muslingeskallers matematiske skønhed

    
Hvorfor har muslingeskaller så flotte mønstre? Ny videnskab fortæller om simple dynamiske processer, der er ansvarlige for tilblivelsen af de mest komplicerede strukturer.


af Robin Engelhardt


"Hvis der er noget om dengang i vil vide, kan jeg ikke fortælle jer ret meget. Form havde jeg ikke, det vil sige, jeg vidste ikke, at jeg havde nogen, eller jeg vidste ikke, at man kunne have en. Jeg voksede lidt på alle leder, som de nu faldt sig; hvis det er det I kalder radiær symmetri, vil det sige, at jeg havde radiær symmetri, men sandt at sige har jeg aldrig lagt mærke til det."
 
Sådan begynder den lille fortælling spiralen fra novellesamlingen Kosmokomiske af den italienske forfatter Italo Calvino. Det er en fremstilling af muslingeskallers livshistorie, fortalt ud fra en enkel ensom muslings perspektiv; dens lyst til at leve og lyst til at finde på nyt, som for eksempel at lave sig en muslingeskal: " Jeg ville lave noget, der kunne markere min tilstedeværelse på en sådan måde, at ingen forvekslinger var mulige, som forsvarede denne min individuelle tilstedeværelse mod den udifferentierede flygtighed i alt det øvrige. Nu er det unødvendigt, at jeg med en bunke ord prøver at forklare det nye i det, jeg havde i sinde; allerede det første ord, jeg har sagt, er mere end nok: lave, jeg ville lave, og når man tænker på, at jeg aldrig havde lavet noget eller tænkt på, at man kunne lave noget, var det allerede en stor begivenhed. Jeg begyndte altså at lave det første, jeg kom på, og det var at lave en skal."


Muslingeskaller har en fascinerende mængde af forskelligartede mønstre og former. Ikke kun forfattere har undret sig over deres skønhed, også videnskabsmænd har forsøgt sig med forskellige hypoteser, og den tyske biolog Hans Meinhardt fra Max Planck Instituttet for udviklingsbiologi i Tùbingen har nu, i en ny bog med titlen "The Algorithmic Beauty of Sea Shells", forsøgt at forklare, hvordan muslingeskaller kan udvikle så uendelig mange mønstre ud fra en simpel lille "metode", som tillader en spontan fremkomst af de mest komplicerede figurer og ornamenter. Ved hjælp af matematiske modeller og computersimuleringer har han og andre videnskabsmænd beskrevet nogle dynamiske processer, der ser ud til at være afgørende for vækst og udvikling af mønstre, vel at mærke uden at organismen selv behøver at skulle kode for hver eneste detalje, og uden at den behøver at holde kontrol med mønstrets rette anordning.
 
Videnskaben vi her går ind i, handler om ikke-lineære dynamiske systemer. Det er en relativ ny videnskabsgren som først for alvor har fundet bredere anvendelse med udviklingen af computeren, der med sin voksende regnekraft kan løse og reproducere komplicerede processer som i deres princip er baseret på gentagelse og simulation. Komplekse makroskopiske fænomener såsom vejret, havstrømme, populationsdynamik og også æltning af kagedeje (og meget mere) lader sig kun meget svært reducere til simple kausale sammenhænge som man f.eks.kender fra den klassiske naturvidenskabs bevægelsesmekanik. Her, i landet hvor kaos, fraktaler og turbulens regerer, er der tale om et helt netværk af kausalkæder, som binder alt til alt; det er et nærmest uigennemtrængeligt garnnøgle af årsagssammenhænge, sådan at forsøget på at trække trådene ud med håndkraft på forhånd er dømt til at mislykkes ynkeligt. Man kan faktisk stadig skrive en formel ned for disse fænomener, men man er ikke særlig meget hjulpet med det. Først udviklingen af formlen i tid og rum tillader en klassifikation af resultatet. Derved bliver de resulterende fænomener irreducible i deres væsen, og måske derfor så tiltalende og anvendelige som metaforer for liv og kunst som man har set blive gjort i masser af sammenhænge.

Det er faktisk et lidt kompliceret emne, men det har til gengæld et hav af anvendelsesområder. Mønsterdannelsesmekanismen i muslingeskaller er blot et lille illustrativt eksempel, og Hans Meinhardt har med sin bog "The Algorithmic Beauty of Sea Shells" gjort det, der egentlig ikke kan lade sig gøre, nemlig at forene appellerende enkelthed og flotte billeder med nogle af de mest uvejsomme og uæstetiske matematiske ligninger der findes: de såkaldte ikke-lineære partielle differentialligninger. Hvad det er for nogen kan vi vende tilbage til, men resultatet er muligvis en forklaringsmodel for ikke kun muslingeskallers mønstre, men lige såvel for andre biologiske mønsterdannelsesprocesser som mønstrene på pattedyrs skind eller på fisk, fostres udviklingsmekanismer, vind-sand systemer som danner sandbanker, også spredningen af epidemier samt celledeling.
  
Bogen er ud over smukke billeder også en fagbog, der prøver at forklare hvordan en model, formuleret i noget matematik og simuleret på en computer, kan fungere som forklaringen for disse mønstre. Ideen, som ligger bag modellerne, og som er det egentligt geniale ved det hele, stammer helt tilbage til 1952, hvor det var Alan Turing, den engelske matematiker, der fremsatte en teori om spontan rumlig mønsterdannelse ud fra vekselvirkningen mellem kemiske reaktioner og almindelig diffusion.
  
Hvis det lyder for abstrakt, så skal man forestille sig to kemiske stoffer som kommer i berøring med hinanden og reagerer på en sådan måde, at et af stofferne dannes igen (og faktisk mere end der var fra start - det er det man kalder autokatalyse), og et andet stof, som forbruges normalt. Dette er en selvforstærkende effekt som ville eskalere hvis der ikke var en hæmmende faktor. Eksplosionen af dynamit er et godt eksempel, idet det her er ilt der forbruges og varme der dannes, men da nye forsyninger af ilt umiddelbart er tilgængelige fra luften, kan reaktionen fortsætte, og løbe løbsk hvis der ikke var noget der hæmmede den. Den hæmmende faktor kan altså være mangel på nye stoffer (med hensyn til dynamitten er det dynamitten selv), men den kan også i tilfælde af mindre reaktive kemikalier (som f.eks. skallers pigmenter) være simpel diffusion. Diffusion er den proces, som for eksempel får en dråbe blod til at fordele sig ligeligt i et badekar med vand. Kravene er altså selvforstærkende reaktioner, diffusion, og hvis der tilmed altid kommer friske forsyninger af stoffer - dem muslingeskallerne udskiller ustandseligt - kan resultatet blive et ret stabilt mønster af pigmenter med hver sin koncentration og position. Hvis mønstret dannes kun i en retning, som fra top til bund i en skal, fremkommer der som regel striber, men der kan også dannes "vandrende bølger", krydsninger, pletter, svingninger, trekanter o.s.v. Alt dette har Hans Meinhardt fået frem på en computer, og det ligner godt (se figuren). I matematikkens sprog er modellerne altså "partielle ikke-lineære differentialligninger", og mønstrene kaldesTuringstrukturer.

Disse strukturer opstår spontant og er selvorganiserende. Der er ikke brug for nogen gener, som koder for de enkelte dele af strukturen, tværtimod er hele systemet, hele opsætningen, en betingelse for skabelsen af mønstre, og omvendt er mønstrene en nødvendig følge af helt basale fysisk-kemiske vekselvirkninger, og derfor kan man tale om en emergens af helt nye kvaliteter. Der er ingen og intet som har designet muslingeskallerne. De er ud fra vores nuværende viden lavet uden nogen besynderlig åbenlys grund, uden noget synligt formål, andet end måske at glæde det menneskelige øje. Skallerne tilbringer alligevel det meste af deres liv på havbunden, gemt i mudder, og mange er dækket af et yderligere mørkt og uigennemsigtigt lag, det såkaldte periostracum.


Muslingeskaller vokser ikke ligesom når man puster en ballon op, men snarere som en én-dimensional proces, fra top til bund, med det ene lag efter det andet. Kun ved kanten af skallen kan nye elementer af mønstrets pigmenter dannes, og derfor henviser ethvert punkt på skallen til et bestemt tidspunkt i dens tilblivelse. Skallen er derfor et størknet historisk aftryk af den dynamiske mekanisme, som har dannet den i første instans.

  
For flertallet af alle de bløddyr vi kender, hvoraf muslingeskaller er en underafdeling, har den synlige form af organerne ikke så stor betydning for deres liv. De er med hensyn til deres ydre form og farve ikke udsat for så stort et evolutionært tryk som andre dyr, som med deres øjne har en meget tydeligere iagttagelsesevne af de andre individer og omverdenen. Den omstændighed styrker selvfølgelig teorien i sin forklaringskraft: jo færre ydre påvirkninger et system oplever, jo nemmere kan den udfolde sine egne indre mekanismer uden yderligere modifikationer og kontrol. Naturen giver formerne og farverne frit spil. Derfor er disse Turingstrukturer en kandidat for et generelt mønsterdannende princip. De er selvfølgelig kun en kandidat blandt flere, men ingen andre mønsterdannelsesmekanismer har formået at forklare så forskellige mønstre på for eksempel muslingeskaller med en så (trods alt) simpel metode som denne.
  
Som en anden vigtig pointe, lægges der i bogen stor vægt på at fortælle, at små forskelle i begyndelsesbetingelserne har store afvigelser til følge, og derfor er der ingen skaller, som ser ens ud. Undersøgelsen af kaotiske systemer - man kunne tænke på vejret - har fremhævet det faktum, at der eksisterer processer, som ifølge deres natur er uforudsigelige i det lange løb, selvom hvert enkelt trin i deres udvikling utvetydigt er determineret ud fra den tidligere situation. Ganske små forskelle kan være ansvarlige for udvælgelsen af helt andre udviklingsbaner. Set ud fra de matematiske modeller er det derfor kun muligt at belyse de kvalitative aspekter, det vil sige fænomenernes meget generelle karaktértræk, men det er for det meste ikke muligt at forudsige det helt præcise udfald, som vil fremkomme på et senere tidspunkt. Man kan kun lave forudsigelser for den meget nære fremtid.

Med bogen følger der en lille diskette, som man kan lægge i sin hjemmecomputer og bruge til at genskabe nogle af billederne fra bogen. Disketten indeholder et program med de nødvendige algoritmer til at beregne resultaterne. Man kan selv ændre nogle af tallene som indgår i ligningerne, og se hvordan små forskelle kan bevirke store udsving i mønstrets form og udvikling.

"Med regelmæssige mellemrum blev kalkstoffet, som jeg udskilte, farvet,og på den måde dannedes der mange smukke striber....og alle andre muslinger var i færd med også at lave sig skaller og konkylier, der alle sammen var ens, hvis det ikke havde været for det faktum, at man sagtens kan sige, at alle disse konkylier er ens, men hvis man så giver sig til at se på dem, opdager man en masse små forskelligheder, der i det følgende kunne blive meget store.", skriver Italo Calvino.

    Videnskaben om ikke-lineære dynamiske systemer er en af den slags videnskaber, som ikke er baseret på en én-til-én korrespondance mellem en bestemt fysisk størrelse og den resulterende egenskab. Tager man derfor på den ene side de dynamiske systemers vigtighed for naturbeskrivelsen i betragtning, og på den anden side deres fatum, nemlig problemet i at forstå dem, synes det anbefalelsesværdigt at studere så relativt simple modelsystemer, som for eksempel mønsterdannelsen på muslingeskaller, for i det mindste at få en svag fornemmelse af, hvad det er der foregår i sådanne ikke-lineære dynamiske systemer. Meget tyder på, at modellerne i dette tilfælde rammer de faktiske forhold ganske godt.



(En samling af komplicerede skalmønstre. Dannelsen af disse mønstre følger en simpel dynamisk proces, som kun behøver få kemiske reaktioner mellem nogle kemikaler og deres indbyrdes diffusion. Mønstrene dannes ved opbygning af et lag efter det andet, hvor hvert lag er arrangeret sådan, at det indeholder elementer fra det tidligere lag udover også at indeholde nye arrangementer. På den måde vil hver muslingeskal være forskellig fra alle de andre, fordi dannelsen af skallernes mønstre er meget sensibel over for begyndelsesbetingelserne og over for ydre påvirkninger.)

(Forklaring på de andre billeder: På baggrunden bag muslingeskallen ses mønstrets udvikling simuleret på en computer. Simple matematiske ligninger regnes igennem og resultatet er anordning af mønstre som til forveksling ligner de mønstre man finder på rigtige muslingeskaller og konkylier.)

0 comments:

There was an error in this gadget