Gödel, Turing, Wolpert

Troen på en teori om alt er den rene religion, viser nye undersøgelser. Således fortsætter logikere og matematikere med at vise, at vores engang så selvsikre teorier om naturen og universet må erstattes af en ydmyg accept af, at vi aldrig vil kunne forstå det hele.

Læs hele artiklen i pdf

Albert Einstein kæmpede hele sit liv for at begribe verden som den 'i virkeligheden er'. Mange af hans samtidige kolleger, inklusive ham selv, viste dog, at vi højest kan give en forklaring på det, der kommer til syne for os, og ikke på verden i sig selv.

Dette fundamentale skisma mellem dem der tror, at man har en direkte tilgang til at forstå og formalisere 'Virkeligheden' (dette kunne kaldes for en 'ontologisk determinisme'), og dem der mener, at man kun kan tilgå 'Virkeligheden' gennem tonede briller (som kunne kaldes for en 'epistemologisk indeterminisme'), har domineret videnskabsfilosofien i de sidste par hundrede år.

Ærkeeksemplet på en deterministisk og kausal beskrivelse af universet er den franske matematiker Pierre-Simon Laplace. Hans beskrivelse af solsystemet fra 1796 som et sæt af differentialligninger samt nogle observerede begyndelsesbetingelser, blev 1800-tallets skabelon for, hvordan hele verden burde forstås. Laplace postulerede endda, at en 'dæmon' med nok viden, ville kunne forudsige en hvilken som helst tilstand eller hændelse i fremtiden.

Til tælling
Denne mekanistiske og deterministiske hybris har igennem 1900-tallet måttet tage imod den ene kæberasler efter den anden, startende med en lige højre fra Einstein selv, der viste, at naturen sætter en effektiv grænse for, hvor hurtigt information kan overføres fra et sted til et andet, nemlig med lysets hastighed.

Den næste var kvantemekanikken, der postulerede en fundamental adskillelse mellem observation og virkelighed, idet der per definition blev knyttet usikkerheder på målingen af simple fysiske størrelser. Einstein vægrede sig som bekendt ved dette terningspil, som kvantemekanikken installerede i de mest fundamentale ligninger for elementarpartiklers opførsel, men Heisenbergs usikkerhedsprincip var og er svært at tale uden om.

Andre mavestød kom fra kaosteorien, der viste, at blot fordi et mekanisk system er deterministisk, er det ikke ensbetydende med at være forudsigeligt. Små variationer i begyndelsesbetingelserne (som vi aldrig kan kende helt præcist) kan betyde, at systemet udvikler sig helt anderledes end forventet. En anden konsekvens af komplekse systemer er ifølge matematikerne Stephen Wolfram og Gregory Chaitin deres sammenfiltrede årsags-/virkningsrelationer (intractability), som gør ethvert forsøg på forudsigelse til et slag i luften. Ja, værre end det: til en principiel umulighed, da det altid kun er det komplekse system selv, der kan beregne sig selv hurtigst, intet andet - ingen formel, ingen simulering.

Gödels bevis og Turingmaskinen var to andre, meget prominente knockouts til troen på den ontologiske determinisme. Gödels teorem fra 1931 viste, at man ikke kan formalisere al matematik, fordi ethvert formelt aksiomatisk system enten er inkonsistent eller ufuldstændigt. Alan Turing førte samme argument ind i computerverdenen, og viste kort tid efter, at der ikke kan eksistere nogen effektiv algoritme, som kan afgøre, om et computerprogram med et givent input vil stoppe eller blive ved med at regne i det uendelige. Man siger, at 'stop-problemet' ikke kan afgøres for Turingmaskiner.

Dødsstødet
I en ny artikel i tidsskriftet Physica D (vol. 237, pp. 1257–1281, 2008) generaliserer matematikeren David Wolpert alle disse ufuldstændigheds- og usikkerhedsrelationer og viser, at determinismen à la Laplace og troen på en samlet teori, der kan forklare alle fysiske fænomener i universet, er umulig. Man kan højest håbe på en teori om næsten alt.

»Jeg prøvede at tænke over, hvad apparater gør, når de observerer, forudsiger eller tjekker fysiske systemer,« siger Wolpert til Ingeniøren. »Hvis man så tænker over, hvad det betyder, når et apparat er i stand til at observere et andet apparat, og det andet apparat også er i stand til at observere det første, så får man direkte ud af det en stærk analog til Turings stop-problem for Turingmaskiner.«

Wolperts artikel er meget teknisk, men grundideen relaterer sig til følgende tankeeksperiment:

Antag at der er to apparater, A og B, og vi spørger om de to apparater kan observere (eller beregne) hinanden samtidig. Man spørger A: 'Vil B svare ja?' Og man spørger B: 'Vil A svare nej?' Hvis A svarer ja, er B's svar også ja. Men hvis B svarer ja, må A's svar være nej, hvilket giver en modstrid.

»Det viser sig, at der automatisk kommer umulighedsresultater ud af denne type spørgsmål,« siger Wolpert og pointerer, at tankeeksperimentet ikke bare er en sproglig leg, men relaterer til selve den måde, vi observerer og repræsenterer fysik på. »For alle observationsapparater kan man altid konstruere nogle variable, som de ikke kan observere. Og dette afhænger hverken af, om universet er kaotisk, eller om det er uendeligt. Det kommer alt sammen direkte ud af matematikken.«

Rent teknisk benytter Wolpert sig i artiklen af et diagonalbevis, ligesom Georg Cantor gjorde, da han i 1874 beviste, at de reelle tal ikke er tælle­lige, fordi man altid kan konstruere et nyt reelt tal, selvom man allerede har lavet en liste med dem alle. Men konklusionen er forbløffende:
a) For hver maskine, som ville kunne beregne alle fysikkens love, vil der være en anden maskine, som ikke kan beregnes; og
b) for hvert par af den slags maskiner, vil de ikke kunne slutte sig til hinanden.

Heftige implikationer
I og med at Wolperts 'apparater' og 'maskiner' er en generalisering af de naturvidenskabelige metoder, der bruges til at forstå og forklare fysiske fænomener, begrænser de sig ikke til computerprogrammer. De kan også være forsøgsopstillinger eller observerende mennesker. De burde derfor snarere kaldes for generaliserede følgeslutningsmaskiner ('inference machines'), defineret som en funktion af alle udviklingslinjer i universet for alle tider.

»Den første implikation er, at La­place tog fejl,« siger Wolpert.
»Universet er måske deterministisk, måske ikke, men vi kan i hvert fald ikke forudsige alt. Der vil altid være en forudsigelse, som man ikke kan være sikker på er rigtig - og det gælder selv i et endeligt, ikke-kaotisk, klassisk univers,« siger han.

En anden implikation er, at Gödels og Turings konklusioner kommer ud som en naturlig følge af overvejelserne. »Man starter med sit måleapparat, og finder noget, hvor apparatet fejler. Det fører til de samme slags resultater som Gödel kom frem til.«

En tredje forbløffende konsekvens er, at når man putter sandsynligheder ind i funktionerne (i stedet for binær logik), så vil man ikke længere være beskæftiget med, hvorvidt man kan garantere, at observationen er korrekt, men i stedet 'med hvilken sandsynlighed' den er korrekt. »Og så er vi ved kvantemekanikkens usikkerhedsprincip,« forklarer Wolpert. »For vi kan vise, at produktet af to sådanne sandsynlighedsfunktioner, ligegyldigt hvilken underliggende fordeling de har, vil være en fjerdedel.«

Det betyder, at Wolpert har fundet en analog til den Heisenbergske usikkerhed.
»Principielt vil produktet af sandsynlighederne give en måleusikkerhed på de to apparater på mindst ¼, hvilket i høj grad ligner kvantemekanikkens usikkerhedsprincip. Plancks konstant kommer kun ind, hvis vi inkluderer en afstandsmåling,« siger Wolpert. Dog maner han til forsigtighed: »Man skal huske, at det stadig er spekulationer, og at vi endnu ikke har gennemarbejdet matematikken,« siger han.

Resultaterne har konsekvenser for både fortid, nutid og fremtid. For hvert gengivelsesapparat (f.eks. en båndoptager) vil der altid være en hændelse, som ikke kan garanteres at være blevet optaget korrekt. For hvert observationsapparat (f.eks. et kamera) vil der altid være en observation som ikke kan garanteres at være korrekt. Og for hver simulator (f.eks. en laptop), vil der altid være en forudsigelse, som ikke kan garanteres at være korrekt.

En anti-enhedsteori
På forbavsende vis giver Wolperts arbejde altså en generel ramme for, hvorfor Heisenberg, Gödel og Turing måtte komme til det resultat, de gjorde. Det er, som om Wolpert er ved at grundlægge en enhedsteori om umuligheden af enhedsteorier.

Et filosofisk interessant sideresultat udgør det såkaldte 'Monoteisme-teorem':
»Lad os sige, at der er 1.000 apparater. Matematikken siger så, at der maximalt findes ét apparat, M, som kan observere alle de andre (eksklusiv sig selv), men ingen af de andre kan observere M,« forklarer Wolpert. Dette kaldes af nogle af hans kolleger for monoteisme-teoremet og siger, at vi højst kan opnå viden om næsten alt. At der altid er noget, vi må slippe.

Men det vigtigste og mest tiltalende karakteristika i Wolperts demonstrationer er, at hans resultater hverken afhænger af apparaternes fysiske udformning eller af fysikkens partikulære love. Ubestemmelighederne dukker op ene og alene som en konsekvens af logikken, og kræver hverken tape og skrivehoved som hos Turing eller elementarpartikler og bølgefunktioner som i kvantemekanikken. De viser, at der findes absolutte logiske grænser for en hvilken som helst videnskabelig metode til at opnå viden om en altomfattende teori for universet.

Laplace' dæmon og den mekaniske determinisme er modbevist. Og en naturvidenskabelig teori om alting er ikke mulig.

0 comments:

There was an error in this gadget