Kun betinget logisk

Mennesket er ikke skabt til at regne med sandsynligheder. Et par eksempler fortæller hvorfor


Af Robin Engelhardt

Forestil dig at du skal købe to gaver med hjem fra ferien for at glæde din kollegas to børn. Mens du leder efter nogle gode ting i legetøjsbutikken, kommer du i tanker om, at du ikke kan huske, om de to børn begge er drenge, eller om de er en dreng og en pige. En pinlig situation. Du kan godt huske at én af dem var en dreng, men den anden?

Spørgsmålet er derfor: Vil du nu købe to drengegaver eller vil du købe en drenge- og en pigegave? Du kunne forsøge at tænke i sandsynligheder (du har måske en matematisk studentereksamen), og formulerer spørgsmålet på en mere matematisk måde: Hvad er sandsynligheden for at din kollegas to børn er drenge, når du ved at den ene er en dreng?

Det er måske overraskende, men spørgsmålet er slet ikke så trivielt som man umiddelbart måtte tro. Selv matematisk trænede mennesker har ofte forskellige svar: Er det 1/2 eller 1/3?

Lad os komme med svaret med det samme: Hvis vi betegner »ingen sandsynlighed overhovedet« med 0 og »absolut sikkert« med 1, er det rigtige svar for at kollegaen har to drenge »en tredjedel«.

Måske tænker man, at fødslen af børn er statistisk uafhængige hændelser, og at det derfor er ligegyldigt at vide, om det ene barn er en dreng: Sandsynligheden for at få en dreng til er (mere eller mindre) 50 procent og dermed basta.

Men det er helt forkert. Spørgsmålet var betinget af, at der er to børn, og at det ene var en dreng. For at finde det rigtige svar må man adskille sin viden om a priori sandsynligheder (at en dreng bliver født cirka hver anden gang) med de betingede sandsynligheder, der ofte resulterer i intuitivt ganske ulogiske svar. For at følge ræsonnementet skal man spørge sig selv følgende ting:
  1) Hvad er a priori sandsynligheden for, at et ægtepar med to børn har to drenge? Svar: 1/4.
  2) Hvad er sandsynligheden for, at én af dem er en dreng (D)? Svar: 3/4, fordi de fire muligheder er DD, DP, PD og PP (idet vi ikke ved hvem af børnene er en dreng, og hvem en pige, er DP og PD to forskellige situationer). For at få det rigtige svar på det oprindelige spørgsmål, må man derfor dividere 1/4 med 3/4, hvilket giver 1/3.

Thomas Bayes
Det var oprindeligt den engelske kirkefader Thomas Bayes, der i midten af 1700-tallet formulerede de sandsynlighedsteoretiske rammer og teoremer til grund for den slags beregninger, men til trods for flere hundrede års kendskab til dem, er betingede sandsynligheder stadig notorisk svære at kapere og basis for mange diskussioner.

Der er mange eksempler på øjensynlige paradokser, som kun trænede eksperter kan gennemskue. Blandt de mere berømte er det såkaldte Monty Hall paradoks: Navnet stammer fra et quiz-show i USA, hvor studieværten Monty Hall stiller vinderen overfor følgende afsluttende problem: Bag én af tre døre står der en cadilac, fri til afhentning, mens der bag de to andre står en sur ged.

Udfordringen er så at gætte på en dør og vinde cadilacen. En ged giver ikke noget. Men legen er ikke slut: Efter at gæsten har gættet på ­ lad os sige dør nummer ét ­ går Monty Hall til en af de andre to døre for at åbne en ged. Han åbner altid for en ged, og derefter spørger han: »Vil du vælge om?«

Ja, ville du vælge om? Du har endnu ikke set indholdet af din først valgte dør.

Det må være klart at du oprindeligt havde en tredjedel chance for at vinde bilen, og at den nu er steget (til 50 procent?), idet Monty Hall har udelukket en af dørene. Men skulle det hjælpe at vælge den anden dør nu? Det er spørgsmålet.

Svaret er, at det er en rigtig god idé at vælge om. Faktisk øges sandsynligheden til det dobbelte, og for at finde svaret (2/3) må man ræsonnere på en lignende måde som før (man kan også besøge internetadressen www.hofstra.edu/~matsrc/MontyHall/MontyHall.html for at afprøve sagen i praksis).

Armstrong på dope?
Et måske mere aktuelt eksempel er spørgsmålet om doping i cykelsporten.

Det er faktisk et kompliceret emne. Den blotte viden om, at en dopingtest kan afsløre brugen af f.eks. EPO (hvilket faktisk er en test, der findes, men ikke bruges), er ikke nok til at afgøre noget som helst.

Hvis vi forestiller os, at en læge siger, at han kan afsløre brugen af EPO med 95 % sikkerhed, og Armstrong lige er blevet testet positiv med den test ­ hvad er sandsynligheden for, at han bruger EPO? Mere korrekt formuleret: Hvad er sandsynligheden for, at Armstrong har brugt EPO, givet at han er blevet testet positiv?

Nej, den er ikke 95 %, for vi mangler den information, der fortæller os hvad risikoen for en falsk positiv test er, og vi mangler også den information, der fortæller os med hvor stor sandsynlighed Armstrong faktisk har taget stoffet a priori. Læger glemmer ofte at fortælle risikoen for en falsk positiv test: Lad os antage at den er 15%. Derefter må vi vide hvad sandsynligheden er, for at en rytter i Tour de France tager EPO (vi kan jo ikke bare postulere at alle tager EPO, for så ville en test jo være unødvendig). Lad os være flinke og sige, at sandsynligheden er 10%.

Lidt mellemregning fortæller, at sandsynligheden for at en rytter tager EPO, og bliver testet positiv for det, er 9,5%, mens sandsynligheden for at en rytter ikke tager EPO, men alligevel bliver testet positiv, er 13,5%.

For at finde løsningen på det oprindelige spørgsmål, skal det første tal divideres med summen af dem begge, hvilket giver en sandsynlighed på cirka 41% for at Armstrong faktisk brugte EPO da han blev testet.

Næppe et resultat, der vil holde i retten.

Dengang sproget blev skabt

En ny simpel model kan forklare sprogets oprindelse og dets komplekse grammatik blandt fortidens hominider

Af Robin Engelhardt

Filosoffer har altid været flittige til at fremhæve præcis de egenskaber hos mennesket, som kan tydeliggøre vores fortræffelighed i forhold til resten af den inferiøre animalske verdenen. I den forbindelse har filosoffernes yndlingseksempel altid været 'Sproget' ­ en vitterlig enestående menneskelig kvalitet, som (i princippet) sætter os i stand til at formidle de mest komplicerede budskaber og forstå selv de mindste hentydninger fra andre og omverdenen.

I de sidste 30-40 år har sprogdebatten koncentreret sig om to meget forskellige holdninger til, hvorfor og hvordan vi mennesker lærer at tale. Behaviorister som f.eks. B.F. Skinner argumenterer, at vi kan tale fordi vi lærer det. Så simpelt. Børn bliver belønnet, hvis de taler korrekt, og straffet eller ignoreret hvis ikke. Aber kan ikke tale fordi de ikke er så gode til at lære.

I modsætning til det mener Noam Chomsky og andre, at vi mennesker har en speciel evne til at lære grammatiske regler, der gør os i stand til at ytre en uendelig mængde af udsagn. Og denne evne er nedarvet igennem den naturlige udvælgelse.

Man må sige, at Chomskys tanker i mellemtiden har vundet slaget, men hvad det præcis er, vi mennesker har arvet af iboende lingvistiske evner, er stadig svært at sige. Også tidspunktet for hvornår det grammatiske sprog opstod for første gang i fortiden er svært at sige. Den gængse holdning blandt forskerne er dog, at sproget udviklede sig nogenlunde samtidig med de tidlige hominiders voksende kraniestørrelse, hvilket vil sige i perioden mellem tre millioner og én million år tilbage i tiden.

Matematisk model
Med matematiske modeller har Martin Nowak og David Krakauer fra Institute for Advanced Study i Princeton, New Jersey, nu formået at beskrive, hvordan simple grammatiske regler kunne opstå og udvikle sig i evolutionen. Hovedpointen er, at et for stort antal lyde/ord vil resultere i for mange fejl i kommunikationen mellem taleren og tilhøreren. Men ved at reducere fejl i kommunikationen vil de mere komplekse sprogsystemer langsomt etableres.

I deres artikel fra den sidste udgave af det velrenomerede tidsskrift PNAS (Proceedings of the National Academy of Sciences) udvikler forskerne en model, som består af tre trin: Først forestiller de sig, at dyr i begyndelsen kun havde simple verbale signaler, blotte lyde, der hver især kunne repræsenterer et bestemt objekt. Efterhånden blev der brug for flere og flere signaler til at betegne nye objekter og handlinger, og i og med at antallet af objekter og signaler steg, øgedes også sandsynligheden for fejltolkninger.

For at overvinde denne fejlkatastrofe udviklede vores art i stedet et lille sæt af let genkendelige lyde, som kunne samles konsekutivt ­ dvs. i ord (man kan sammenligne det med overgangen fra en analog til en digital repræsentation). Med matematiske ligninger viser Nowak og Krakauer i deres artikel, hvordan orddannelser pludselig kan repræsentere et langt større sæt af objekter end tidligere.

Dermed gives der også en mulig forklaring på, hvorfor menneskers mangeartede sprog alle er komponeret ud fra et meget begrænset antal lyde.

Sætningsdannelse
Det sidste trin i udviklingen af sproget er dannelsen af grammatik, og det er her, forskellen mellem mennesket og andre dyr gør sig gældende, mener forskerne.

Den store fordel ved at danne sætninger frem for at finde på nye ord hele tiden, ligger ligesom før i, at en kombination af simple ord-elementer til sætninger kræver et forholdsvis mindre vokabularium. Man behøver ikke længere at danne flere og flere ord efterhånden som antallet af objekter eller ønskede udsagn vokser, og har samtidige en uendelig mængde af potentielle udsagn. Med ønsket om at formidle mere information ved hjælp af kombinationen af ord, opstår de grammatiske strukturer og syntakser, og så længe man blot kender de grammatiske regler, der forbinder ordene, behøver sætningerne ikke at læres udenad. Det er kun ordene man skal kende ­ og grammatikken.

Der er f.eks. en fordel i at beskrive ting ved objekt og handling. Hvis 'løven sover' er det noget andet end hvis 'løven kommer'. Havde man ikke opdelingen i navneord og udsagnsord, ville man skulle finde på to nye ord for hver af situationerne. Grammatikken kræver et mindre ordforråd, og dermed vil antallet af misforståelser også falde ­ ligesom det var tilfældet med orddannelsen, der mindskede fejltolkninger af lyde.

Grammatik udviklede sig altså sandsynligvis som et simplificeret signalsystem, for både at reducere fejltolkninger og antallet af elementer, uden at give køb på mængden af kommunikérbar information. Ja, tværtimod skaber det en uendelig mængde af mulige udsagn.

Samarbejde
Så kan man spørge: Hvorfor udviklede ikke også andre dyrearter et grammatisk sprog? Svaret kan ifølge artiklen være, at grammatik kun udvikles, når det bliver nødvendigt at betegne virkelig mange forskellige hændelser, og kvalificere dem på en meget eksakt måde.

Man må derfor regne med, at en evolution af sprog kun kan ske, hos arter der samarbejder og som har udviklet et differentieret samfund med en rimelig kompleks social struktur, og en afhængighed til tilpas mange genstande i deres omverden. Så selvom modellen er meget abstrakt og simpel, giver den et ganske plausibelt grundlag for, hvordan en så kompliceret evne som sproget kunne dannes som resultat af fordringer og fejltolkninger af informationsoverførsel mellem sociale individer.

Den evige agurks vandring

Agurkens geografiske udbredelse har ændret sig væsentligt i løbet af sidste mange tusinde år

Cucumis sativus
Af Robin Engelhardt

Agurken er en så almindelig og upåagtet grøntsag, at vores viden om dens geografiske udbredelse og kulturelle betydning altid har været meget begrænset. Information har forsøgt opspore historisk gemt og glemt viden om denne almindelige fødevare.


Det første spørgsmål er agurkens oprindelse. I lang tid troede man, at agurken stammer fra Ostindien for cirka 3-4.000 år siden, men i dag mener man snarere, at agurken kommer fra Sydøstasien. Argumentet for den antagelser er, at nogle forskere fra Hawaiis universitet på et tidspunkt fandt nogle cirka 8.000 år gamle frø under en udgravning i nærheden af grænsen mellem Burma og Thailand. Men det kan meget vel være, at agurken er endnu ældre end det.


TIBERIUS ELSKEDE DEN
I løbet af de følgende årtusinder spredtes agurken først til dyrkningsområder i Kina og Indien, og sandsynligvis derfra til Mellemøsten. I de gamle assyreres urtebøger fortælles der om en plante, hvis navn er blevet oversat med 'dessertagurk', mens en anden oversættes som en 'sprøjtende agurk'. Sandsynligvis var det første en vandmelon. Før det 16. århundrede eksisterede der ikke nogen skarp sproglig adskillelse mellem agurker, græskar, squash, vandmelon og melon, så forvekslinger mellem disse beslægtede arter (der alle tilhører græskarfamilien ­ Cucurbita) var hyppige.

I det gamle Ægypten og Mesopotamien var agurken formodentlig kendt. I oldtidens Grækenland kaldtes agurken for sikyos (hvilket nu er navnet på en helt anden slægt, der nu omfatter 50 arter i Australien, Stillehavet og de varmere dele af Amerika). Romerne omtalte agurken med stor ære og frydefuldhed. For eksempel lovpriste Virgil agurken i værket Georgica, og Plinius noterede sig, at kejser Tiberius fortærede en voldsom mængde af denne vandede grøntsag. Hos Apicius kan man finde opskrifter på, hvordan en cucumis tilberedes. Ifølge en dansk råstofbog forsøgte romerske gartnere at lægge frøerne i vin og honning for at avle søde agurker. Det kan selvfølgelig godt være, at romerne ikke mente agurker, når de skrev cucumis, men i stedet meloner eller squash, og således kan vi i dag ikke være helt sikre på, hvad det var, Apicius tilberedte, og hvad det var, Tiberius spiste i så store mængder.

Romernes ord for græskar var cucurbita. Imidlertid ved man, at det de mente ikke var nutidens græskar (som hedder Cucurbita, der som sagt er en hel familie, hvortil også agurken hører), men det vi nu kalder for en flaskegræskar (Lagenaria). Således er der en del usikkerhed om de historiske henvisninger til de mange slægte og arter, der tilhører græskarfamilien.


CUCUMIS SATIVUS ANGLICUS
Med romernes ekspansion mod nord fulgte også agurken, men det tog alligevel ganske lang tid før den fandt indpas i de forskellige lande ­ sikkert fordi agurken kræver et så varmt klima. I Frankrig dyrkede man agurken fra omkring år 800, og i England fra 1300-tallet af. Tyskland kom som med så meget andet først til senere i 1500-tallet. Der findes et dokument, hvori der tales om agurker i 1500-tallets Würtemberg, hvor den efter alt at dømme blev lanceret som en nyhed.

Amerika fik agurken af Christoffer Columbus i 1494. Pueblo-indianerne blev meget glade for den i løbet af ganske få år, og i 1539 blev den dyrket i Florida af de indfødte indianere dér. Man må sige, at agurkens geografiske udbredelse igennem historien hænger tæt sammen med etableringen af de store handelsveje fra Indien og Kina til Mellemøsten, og derfra til resten af Europa. Så heller ikke på det punkt kan agurken fortælle synderlig nyt eller spændende om menneskers skikke og historie. Den ligger der bare, og venter på at blive spist.

I de milde klimaområder som f.eks. i USA bliver agurken dyrket frit på marken eller i køkkenhaver, men i det nordlige Europa bliver agurken typisk dyrket på tremmeværk i væksthuse, for den er en af de mest varmekrævende grøntsager, vi har (faktisk indtager agurken klassifikatorisk en særstilling mellem en frugt og en grøntsag, men fordi agurken ikke har nogen typisk sur eller sød frugtsmag, klassificerer man den normalt blandt grøntsagerne).

Når man i Danmark siger agurk, mener man salatagurken, som er avlet i drivhuskultur og ved afplukning af hanblomsterne (planten skal nemlig bestøves for at sætte frø, men ikke for at danne frugt). De derved dannede slanke og kerneløse agurker er de bedste salatagurker, og betegnes faktisk som en særlig variant (Cucumis sativus anglicus). Andre sorter for agurker er slangeagurker, som kan være udmærkede salatagurker, asieagurker, hvis tykke, næsten modne bær leverer asier, og drueagurker, som er småfrugtede og rigtbærende sorter, der typisk bruges som lage- og sylteagurker.

SLANKEMIDDEL
Alle kulturer har tilskrevet agurken en appetitvækkende kraft, men det skyldes en ganske indlysende omstændighed: Agurkens næringsværdi er næsten lig nul. Hovedparten (94-97%) er vand. Og på grund af agurkens minimale næringsværdi, kan den faktisk bruges som slankemiddel, hvis den spises koldt.

Forskere har nemlig vist, at den kropsenergi, der skal til for at varme vandindholdet i en kold agurk op til kropstemperatur, langt overstiger agurkens indhold af næringssubstanser. Man taber sig simpelthen ved at spise en agurk fra køleskabet (og forskerne havde ikke engang medregnet den ekstraenergi, der skal til for at tygge igennem den halvhårde grønne skal). Andre forskere har vist, at agurkens frugtkød faktisk er ganske kold af sig selv, og oftest meget koldere end den luft, der omgiver den. Så, at være 'cool as a cucumber' er ikke kun et engelsk ordsprog, det er også sandt.
There was an error in this gadget